Arquivos Mensais: fevereiro 2010

Calculando quadrados com somas

Esses dias, enquanto lia mensagens na UseNet [1], deparei-me com a seguinte sequência:

1² = 1 + 2.0 = 1
2² = 2 + 2.1 = 4
3² = 3 + 2(2+1) = 9
4² = 4 + 2(3+2+1) = 16
5² = 5 + 2(4+3+2+1) = 25

ou, genericamente:

n^2 = n + 2\sum_{i=0}^{n-1} i

A primeira coisa que me perguntei foi se isso é válido para qualquer n. Fiz um programa rapidinho em Haskell para calcular para mim:

square :: Integer -> Integer
square x = x + (2 * (foldl (+) 0 [1..(x-1)]))

test :: [Integer] -> Bool
test [] = True
test (x:xs) = if (square x) == (x*x)
              then test xs
                   else False

Testei de 1 a algum número bem grande. 100k ou 1M, não me lembro bem. O resultado foi True, significando que a equação é válida para pelo menos um número grande de ns. Ainda assim, fica a pergunta: é válida para qualquer n? E, a questão fundamental, por quê?

A prova por indução nos garante que sim, essa equação é válida para qualquer n, e também dá uma ideia de porque é válida. Se alguém conseguir fazer uma figura com a interpretação geométrica desse resultado, seria interessante.

\left(n+1\right)^2 = n^2 + 2n + 1 \\ \left(n+1\right)^2 = \left(n + 2\sum_{i=0}^{n-1} i\right) + 2n + 1 \\ \left(n+1\right)^2 = n + 1 + 2n + 2\sum_{i=0}^{n-1} i \\ \left(n+1\right)^2 = \left(n+1\right) + 2\left(n + \sum_{i=0}^{n-1} i\right) \\ \left(n+1\right)^2 = \left(n+1\right) + 2\sum_{i=0}^{(n+1)-1} i

[1] Sim, ela ainda existe e é bastante ativa.

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