Lançamentos oblíquos: alcance máximo

O ângulo que possui alcance máximo em um lançamento oblíquo é 45°. Isso geralmente é dito por professores do Ensino Médio, mas raramente é explicado. Na verdade, duvido que muitos alunos se interessem pelo porquê; imagino uns cinco alunos por turma testando outros valores e percebendo que de fato 45° é o que dará o maior alcance e apenas um realmente curioso sobre como e porque 45° é que dará o maior alcance.

Bom, eu sou um desses alunos que se perguntou “por quê?” quando soube disso e um desses dias resolvi provar a mim mesmo matematicamente por que com 45° o corpo atingiria o alcance máximo.

Como estamos desprezando a resistência do ar, v_x é uma velocidade constante, enquanto que v_y será uma velocidade variável com uma acelaração constante (g). Sabendo disso, eis as equações de que precisamos:

v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ v_y = v_{y_0} - gt

Além disso, pela decomposição vetorial, sabemos que:

v_x = v \cdot \cos \theta \\ v_y = v \cdot \sin \theta

Queremos saber com que ângulo o alcance é máximo, então estamos atrás de \Delta x. Isolando-o na primeira equação temos \Delta x = v_x \cdot \Delta t. Sabemos que v_x = v \cdot \cos \theta e sabemos que \Delta t é quanto tempo o corpo permanece no ar. Usando a fórmula de v_y a igualando a 0, descobrimos quanto tempo demora para o corpo atingir a altura máxima (já que no topo do trajeto o corpo pára por um instante antes de descer). Dobrando esse valor temos o tempo total que o corpo permanceu no ar.

0 = v_{y_0} - gt \\ t = \frac{v_{y_0}}{g}

Substituindo esse valor encontrado para t e lembrando que o valor de \Delta t = 2t temos:

\Delta x = \frac{v_x \cdot 2 v_{y_0}}{g} \\ \Delta x = \frac{v_0 \cdot \cos \theta \cdot 2 v_0 \cdot \sin \theta}{g} \\ \Delta x = \frac{2v^2_0 \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta}{g}

Lembrando que v_x = v_{x_0} . Com isso, podemos pensar em \Delta x como uma função que depende da velocidade inicial, da gravidade e do ângulo de lançamento. Como a única variável que queremos alterar é o ângulo, vamos dar maior atenção apenas aos fatores que dependem dele.

f(\theta ) = \sin \theta \cdot \cos \theta \\ \frac{d}{d\theta} f(\theta ) = \sin \theta \cdot (- \sin \theta) + \cos \theta \cdot \cos \theta \\ \frac{d}{d\theta} f(\theta ) = - \sin^2 \theta + \cos^2 \theta

Igualando a derivada a zero teremos o valor máximo:

0 = - \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \\ \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \\ \sin \theta = \cos \theta

O que nos dá, para ângulos entre 0° e 90°, justamente 45°.

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12 Respostas para “Lançamentos oblíquos: alcance máximo

  1. Cleiton Zucolotto abril 23, 2009 às 4:24 pm

    Legal a sua demonstração. Add seu site aos favoritos. faço matematica na uft. abraço

  2. Marcelo C. Leles dezembro 27, 2009 às 10:53 pm

    Affs, muito complicada essa explicação por derivada. Pra quem faz ensino médio e ainda nao sabe derivada é foda. É só pegar a ultima fórmula e se lembrar de uma formula de trigonometria: 2.sen(b).cos(b) = sen(2b) , por isso o angulo de 45 é o de alcance máximo, pois sen(2b), ou seja, sen(2.45)= sen90=1 e sen90 é o maior que existe, isso torna o valor do alcance horizontal (X) máximo.

  3. Shanaylla junho 7, 2010 às 9:19 pm

    Muito obrigada, naum só sustentou meu trabalho muito eloquentemente como me fez entender! muito obrigada!

  4. sasori abril 13, 2012 às 4:15 pm

    Seu artigo é bom, mas existe uma maneira bem mais simples de encontrar o alcance máximo. O novo estilo consiste na trigonometria, é tão simples que pode ser explicado em duas ou três linhas, todavia é difícil encontrar um aluno interessado como você. Meus parabéns. Abraços. Fique com Deus. Continue assim.

  5. William renan junho 26, 2012 às 5:59 pm

    So nao entendi pq delta t e igual a 2t. Poderia mr explicar?

    • Rafael janeiro 15, 2016 às 3:29 pm

      Porque delta t é a variação de tempo, e no lançamento vertical e oblíquo o mesmo tempo que um objeto gasta pra subir, ele gasta pra descer. Então se o tempo de subida for 2s, o tempo total de voo que é o delta T será de 4s.

    • Bernardo Felisdorio Espíndola setembro 7, 2016 às 5:14 pm

      O t em questão é o tempo de subida OU descida, que são iguais. Quando ele coloca delta t ele quer o tempo total, que é o tempo de subida mais o de descida, logo, deve-se duplicar o tempo de subida já que ambos são iguais, resultando em 2t.
      Espero ter tirado sua dúvida.

    • eridelson junior agosto 14, 2017 às 2:28 am

      é porque t é somente o tempo de subida. 2t é o tempo de voo = tempo de subida+tempo de descida (que são iguais), por isso é t+t=2t

  6. Amanda Maciel outubro 3, 2016 às 11:20 pm

    Ótimo artigo, o melhor para entender o “por quê”

  7. eridelson junior agosto 14, 2017 às 2:35 am

    Muito bom o seu artigo. Me fez lembrar desse assunto que a gente termina esquecendo uma besteirinha que dá errado. só achei que você deveria explicar melhor a parte que você adota somente o ângulo como variável, transformando assim todo o resto em constante, mantendo a propriedade de que uma constante multiplicando uma função não se altera quando derivamos a mesma função. Parabéns pela explicação!

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