Calculando pi usando limites

Sempre tive curiosidade de saber como se calcula pi. De tempos em tempos se ouve “grupo de cientistas de Townsville calculam pi até 123891318475618457164 digitos”. Legal, mas como?

Bom, achei uma forma. Embora ela não seja muito eficiente para ser usadas com computadores, essa é a idéia matemática por trás do cálculo. Os problemas são que 1) as linguagens de programação apresentam uma função cosseno cujo argumento é em radianos, ou seja, precisamos já do valor de pi para que elas funcionem e que 2) existem problemas de arredondamento com floats.

A idéia é relativamente simples: considere uma circunferência de raio 1 e que queremos saber o comprimento de metade dela. Se traçarmos um segmento de reta que cruza essa reta bem ao meio (diâmetro), teremos que ele mede 2. Repare, no entanto, que esse segmento passa longe da nossa metade de circunferência.

Se usarmos dois segmentos teremos que chega mais perto do valor de pi que conhecemos, teremos aproximadamente 2,82 (já digo como cheguei a esse valor), mas ainda podemos nos aproximar mais do valor de pi, conforme formos aumentando o número de segmentos: 4 segmentos nos dará 3,06; 10 segmentos nos dará 3,12; 100 nos dará 3,1414. Até aqui já descobrimos que o que estamos calculando é um limite: quanto mais segmentos, mais próximos de pi chegamos.

Círculos e aproximação com segmentos

Círculos e aproximação com segmentos

Ainda temos um problema, porém: achar o tamanho desses segmentos. Se ligarmos as extremidades dos segmentos ao centro da circunferência, teremos um triângulo isósceles (dois lados são raios, logo, têm tamanho 1). O lado que sobra é o lado que queremos calcular, o que podemos fazer usando a lei dos cossenos:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot \cos \theta

Que teta, agora temos que achar theta! (hã hã, theta, teta, hã hã, sacou? Tá, foi péssima…) Como faremos isso? É simples: quando usamos apenas 1 segmento, o ângulo era 180°; depois, quando usamos 2 segmentos, o ângulo formado entre os raios é 90°; com três, o ângulo é 60°. Ou seja, o ângulo \theta será 180° dividido pelo número de triângulos formados. Sabendo disso, vamos isolar a na nossa lei dos cossenos, lembrando que b e c são raios, e portanto possuem tamanho 1:

a^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot1\cdot1\cdot\cos \frac{180^{\circ}}{n}\\ a^2 = 2 - 2\cdot\cos \frac{180^{\circ}}{n} \\ a = \sqrt{2 - 2\cdot\cos \frac{180^{\circ}}{n}}

Agora o limite. Sabemos que quanto maior o número de segmentos utilizados, melhor é a nossa aproximação. Sabemos também como calcular o tamanho dos segmentos. Por último, sabemos que a variável n que aparece na equação para calcular o tamanho do segmento é o número de segmentos. Ou seja, as duas partes do nosso limite dependem de uma mesma grandeza, que aqui vou chamar de n . Matematicamente, fica assim:

\pi = \lim_{n\to\inf} \left( n \cdot \sqrt{2 - 2\cdot\cos \frac{180^{\circ}}{n}} \right)

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2 Respostas para “Calculando pi usando limites

  1. Pingback: Da possibilidade de usar uma wiki, conclusões « Aletéia

  2. Cadu agosto 6, 2012 às 11:00 pm

    eu encontrei outra maneira, em que fica em função do seno, e não do cosseno

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